てきとうな足跡
イラストやらバイトの事を書いている大学生のブログ
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(メモ) 1+1+1+・・・=
「e^iπ-1=0 (i = √-1)」
解析学でもっとも美しいといわれている公式
オイラーの公式
「e^iθ=cosθ+isinθ」
を使えば確かに0になる、詳しいことはオイラーの公式とかで検索

話は変わって、
1+1+1+・・・・・=-1/2
∞ではありません
正の整数を加えているのにマイナスに・・・しかも分数に

「ゼータ関数」詳しいことはグーグル先生に
f(x) = 1+x+x^2+x^3+・・・・
とすると
f(x) = 1+x+x^2+x^3+・・・ = 1/(1-x)
が成立(ただし -1 < x < 1)
(証明)
1+x+x^2+x^3+・・・・+x^n とする
これに(1-x)を掛けると
左辺
=(1+x+x^2+x^3+・・・・+x^n)(1-x)
=(1+x+x^2+x^3+・・・・+x^(n-1)+x^n)
-(x+x^2+x^3+・・・・+x^n+x^(n+1))
=1-x^(n+1)
ここで
lim(n→∞)(1+x+x^2+x^3+・・・・+x^n)(1-x)
とすると
左辺
=lim(n→∞)(1-x^(n+1))
-1=lim(n→∞)(1-x^(n+1)) = 1
最後に 1/(1-x)をかけると
1+x+x^2+x^3+・・・=1/(1-x)
(終)
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